VI Jahren sichtlich immer mehr, insbesondere auch im Auslande, zur Gel- tung. Aber nicht minder ist meine Dberzeugung (was ich nie unter- lassen babe, hinzuzuftigen), daB ein solcher Unterricht, entsprechend der heutigen Entwickelung der Wissenschaft, ftir die Ausbildung der Fachmathematiker auf der Oberstufe nicht gentigt, daB hier vielmehr neben den Tatsachen der Anschauung die zentrale Bedeutung des modernen Zahlbegriffs und der weitgehenden mit ihm zusammen- hangenden Entwickelungen hervortreten muB. Und nun vermisse ich in den Lehrbtichern und Vorlesungen, welche ich kenne, die Uber- leitung von der einen Auffassung zur anderen. Hier will sich die fol- gende Darstellung als eine Erganzung einschieben; ihr bestes Ziel wird erreicht sein, wenn sie sich eines Tages als tiberfliissig erweisen sollte, weil die Uberlegungen, die sie bringt, zu selbstverstandlichen Bestand- teilen jedes hoheren mathematischen Unterrichts geworden sind. Gottingen, den 28. Februar 1902. F. Klein. Vorwort zur zweiten Auflage. Das Folgende ist im wesentlichen ein unveranderter Abdruck der ersten Ausgabe dieser Vorlesungen vom Jahre 1902. Nur an einzelnen Stellen sind einige Ungenauigkeiten verbessert, sowie in gelegentlichen Zusatzen Hinweise auf neuere Publikationen gegeben, die in engstem Zusammen- hange mit den in der Vorlesung gegebenen Entwickelungen stehen. Am Schlusse ist ein Abdruck des, Gutachtens der Gottinger philosophischen Fakultat betreffend die Beneke-Preisaufgabe ftir 1901 ", auf das die Aus- ftihrungen des Textes verschiedentlich Bezug nehmen, hinzugeftigt. Gottingen, den 5. Januar 1907. C. H. Miiller. Vorwort zur dritten Auflage. Die Vorlesung F.